LANGAGES "CONTEXT-SENS ITIVES" 
q~JEL(~JES ASPECTS DE LEUR EXTENSION. 
par J. FRIANT 
Ce rapport rappelle lea principales d~finitions concer~ant lea 
8ramma/res de constituantsp notamment lea gr~maires CS. Pule il introd~lt 
la.notion de Erammaires CS de reconnaissance, ce qui permet en particulier 
de d~montrer si~plement la stabilit6 de ltintersection relativement ~ la 
classe des langages CS. Plusieurs langages CS, de nature arithm~tique, 
sont ensuite d6crits; ainsi il eat montr~ que l'ensemhle des hombres 
premiers constl~ue un tel langage. En conclusion, l*6noac~ de deux 
r~sultats permet dlinclure la classe .des langages CF matrtelolles et celle 
• des langages CFP clans la claese des langages CS. 
§ O. RAPPELS. NOTATIONS. ~ 4 ~ 
O.l. Orammalres de constl.tuant% imm~dlats. 
Ce sont des syt~nes formels dont le but est de d6cEire la 
construction des phrases de langages artificiels par modifications succes- 
sives portant sur des suites de symboles. Formellement~ une Eranlnaire de 
constituants eat la donn~e d'un quadrupletz; 
-~ appel6 vocabulaire, est un ensemble fini de symboles; 
- t~T , vocabulaire termlnalp est un sous-ensemble de~ dont le compl~- 
mentaire~ ~N * est appel~ voeabulalre non-termlnal; 
- S est un s~abole distlngu6 de t/N , d~si~n~ symbole inltial. 
Les symboles -- ~l~ments de '0 ~- seront repr6sent~s par des ca- 
pitales latines habltuell~ent indic6es, et les suites flnies de tels 
symboles, ou mots -- ~l~ments du monoTde llbre ~ construit sur u ~- par 
des cap&tales latlnes surmont6es d,u accent eirconfle=~e. 
un couple ordonn~ de mo~ts (A,B) on associera le mot L 
obrenu en 6crivant le mot B & droite dumot A, 
Formel lement I 
sl A = A 1 ... A t .,. A n 
=B 1 ... Bj ... B m 
C ^ ^ , , alors = A B = A 1 ..~ A n B 1 ... B o 
On dire que Aj D et C sont des mots de longueur respectivement ~gale ~ np 
et n + ~ et on ~crlra. / 
If, l=-, IBI==, ICL=n+ . 
-~ est un ensemble finl dont les 61~ments, appel~s r~-gles do productlon~ 
sont des couples ordonn~s de mots. Ainsi: 
^ ^ ^ 
r 6 ~: r = (A,B) avecla restriction A ~ \[2"~ . 
0.2. 
r~gle de production 
^ 
, 
^ 
On ~crira : X 
D~rlvation; 
. On dira que Y d~rive dircctement____.___ de X~ selon ~, par la 
^ ^ ^ 
r = (A,B), s'il existe deux mots Get D tels 
Gp rp D 
On dira queYd~rive-de X, selon ~,, slil exlste 
^ 
flnle de mots X 0 , X I i..., X n tels que : 
io =f: ' ~n =~ 
~ r i ^ >X. 
et Vi, I ~ i < n r i 6 ~-" Xi . I (~ z 
on ~crir~: ~ ~,'~ ~ ~.e~ ." = r I ... r i ... r n ~ ~* 
une suite 
0.3, ~. 
Le langage engendr~ par la grammalre ~ est le sous-ensemble 
,o ~; ,o=,~ ~o. °o. d0.,.= ,° ,, .°,o. ~, o. ,o .o<°.. ~ <~. 
ll' 
Deux grannnalres seront dltcs ~quivalent~s si elles engendrent le m~me langage. 
0.4. Grammalres et langag, es context-sensitive~ 
sous-ensemble de ~ sera appel~ langage eontext~sensltlve Un 
sill peut 8ire engendr6 par une grarmnaire ~ dent routes les rAgles sont 
telles que la Iongue~r du premier meabre est au plus ~gale ~ celle du 
second, i.e. i 
On remarquera que tousles langages context-free ~) sont context-sensl- 
tive (CS)~ 
o. ,~°o.<.o (\[, \], E, \]J ,-'.--, ,.-~.,o ~, ~°.< 
toujours 8tre engendr~ par une granmmire 
satlsfalsant aux conditions sulvantes: 
" 3 - 
. Outre le symbole ini~'ial S, t/N contient deux symboles 
particuliers S T et ~!; on note: - S . 
• Les r~gles se rdpartissent en trois groupes: 
- les r~gles initiales: (S,SW) et (.sps') 
- l'ensemble des r~gles binaire$, de la forme: (A i Aj , Ak, A I) aucun 
de ces symboles n'~tant terminal, 
- et l'ensemb!e ~ des r~gles terminales, de la forme: 
(A,T) : A 6 t7 , T 6 ~T 
Soit X 6 D~,£ , I ~ I = n ; il r6sulte des conditions cl-dessus que 
est une phrase de ~ sl et seulement si on peut d£river X de S' W n " 1 
l'aide des r~gles de ~l ~ , ^ et de ; plus pr~cls~ment" ~ 6 si et 
seulement sl il existe A 6 ~,n tel que A d~rive de S' I~ " I par ~let 
§ 1, GTJ%IRI/A£PJE DE RECONNAISSANCE ASSOCIEE A tiN LANGAGE CS. 
I.I. Soit i un langage CS engendr~ par une grannnalre ~ du type 
rappel~ cl.dessus. Nous allons d~flnir une grarsnaire ~ ~qulvalente ~ ~: 
- Le symbole initial ctles symboles terminaux sont ceu x de ~. On trouve 
de plus les ~16~nents de 
repr~sent~s par: ~ A 6 , T 6 ~YT 
- Les r~gles de~r sont d6duites de celles de ~: 
• r~gles inltiales: 
W S' 
• r6gles binaires, u~ r : 
• irA. ~,-A. ~ A i I VTI , T 2 6 %: tL~\]L~\],\[_\]\[~\]~ ~~ ~ 
si et seul~:lent si.(A i Aj , A k A1) 6 ~t 
. r~gles terminales, 
A • VT 6.~T : <\[~ \]' T) ~ ~ si et seulement si (A,T) 
^ 
Par extension sl A = A I ... A i ... A n 6 ~n 
^ 
T1 Ti n et X = • ..... T n 6 ~T 
gO 
on ~crira: c A 1 A i \[#\] : L~\]...\[~\] .-.\[An 
Co~e pour la gr~aire ~, il r~sulte du choix des r~gles de 
r que X 6 ( ) si et seulement si on peut d~rlver X de 8' wn^ 1 
X 
seulement si il existe A 6 ~,n tel que d~rlve de - ^ 
X 
par et ,," d~rive de ~ par . Ainsi ~ route S-d~rivation de X, 
selon ~, d~composable en (of. ci-dessus) : 
s s,v~ n'1 ~'~) > ~ t~) ^ .... ~ > X 
correspond la S-dErivation de X selon ~r : 
9 _ \[~',: -~ ' (~ 
x \]~~\[~ -------- 
et r~ciproquement. 
On a done blen le r~sultat annone~: 
La gr~aire est dice de reconnaissance car si X est un 
mot terminal ( X 6 b~ T , et I X ~ : n )notts pouvons touJours envisager 
-5- 
une S-d~rivation, selon r~r , te!le que l"application des r~gles initiales 
LS IW n - I~ aboutisse au mot' ~ J ~ mais cette d~rivation ne sera fructueuse 
que si X est une phrase du langage ~. e'est-A-dire si la gran~maire ( r ' 
par ses r~-gles r et , le "recomnalt" telle. On di):a indiff~remment 
que engendre ou accepte X. 
on peut auss:' envisager des gran~maires CS de reconnaissance avec marquant 
d'extr~nit6s de phrases, not~ #. L'introduction d'un tel marquant ne 
modifle pas la capacit~ g~n~rative de nos grarmaaires. 
Io2, t~pplication: Intersection de langages CS= 
En utillsant la notion de grammaire de reconnaissance nous 
.,,0..  .ouvo. ,o <E, E + ;). 
. L'intersecti0n de deux langages CS est CS. 
Soient ~I et ~2 de~ langages CS sur le mSme vocabulaire 
retinal ~ . On suppose ~on.+ pour ~ ~ : i, 2 > une ~a~a~re 
du type indiou~, en 0.4. ; on note S.l le symbole initial, S~I ' W i les 
symboles sp@c!aux ~ ~i " D'apr~s le paragraphe I,I. on peut d~finir une 
U 
graraaalre de reconnaissance (~ ~quivalente ~ ~. d0nt l'ensemble des 
A 
d ri ~ t 
symholes non-te~inaux+ mis ~ part S.~I + est not~ ~rl- et l'ensemblc des 
r~gles binalres (resp. terminales) ~/ri (resp. ~ri ). 
On va construire une grarmmaire CS de rcconnaissancej av~cmarquant ~ 
= (~., %,S,~,~) 
,~ ~c_ I et ~ qui engendre I n 2 
- Vocabulaire: Le vocabulaire tel~inal de ~ est ~T ; levoeabulaire 
q 
non-terminal ¢~N comporte en plus des symholes distingu~s S et ~, les 
symboles de ~r (i = I, 2 ), i.e.: 
1 
~6- 
- Principe du choix des r~gles de 
Nous voulons dSfinir une grammaire de reconnaissance qui n'accepte que 
phrascsappartenant simultan~ment A ~I et ~2 " Etant donn~ un mot les 
i% 
terminal X~. nous v~rifierons done d'abord, & l'aide des r&gles de ~ I 
r 1 h 
que est une phrase de ~I ; si c'est le cas~ et alors seulement, par des 
r&gles intez~m6diaires nous passerons ~ l'6tude de la reconnaissance de 
par la grammaire , & l'aide des r&gles de . gg les r&gles de 
2 r2^ 
nous permettront de passer au niveau tcrmlnal Xp s! et seulement sl 
^ r2 
X appartient h l iintersectlon J!l N '22 " 
- R~gles de ~.~: 
• r&gles initiales 
W 1 S 1 
. r~glcs de'~econnafssance" de rl 
• r&gles interm~diaires 
r t 
V T, T' 6 bVT 
A W2 ~'12 W 2 ¥ ,T E 
F I 
,- W 2 S 2 
.r~gles ~t et ~, de la grammalre 
r2 vr2 2 
Le lecteur vSrlflera facilement que le prlnclpe signals plus haut se 
i/9 ^ 
trouve respects par le cholx de ces r@gles t {~ aecepte les phrases X 
- 7 - 
appartenant simultan~ment ~ ~I et ~2 ' 
le r~sulta~ ~nonc~. 
et elles seu!esi ce qui d~ontre 
Nous allons presenter maintenant quelques examples de langages CS. 
§ 2. LANGAGES CS ARTIFICIELS. 
Les langages ~tudi~s dans ce paragraphe, sont d~finis sur le vocabulaire 
= + dtun 
tel langage iest enti~rement caract~risfie par sa longueur klaussi , par 
ahus de langage, dirons-nous parfols "le nombre k", pour le'~ot I k " . On 
salt qulun tel langage Infini ~est CF qua s'il contient un soBs-ensemble 
"formant|' une progressiongdom~trique. J. P. Benz~cri<L ! \] , \[ 2 \]) 
a g~n~ralis~ la notion de langage CF en faisant intervenir des symboles et 
des mots ~ plusleurs insertions iet diverses operations sur ees mots, en 
plus du prodult de juxtaposition on parle de langage CFP. R. Gued~ a 
contient une pz~gression arlthmltique ou une progression de la forme: 
k ri~+uv } I 
k E ~ . Ainsi le lecteur pourra v~rifier faeilement 
qu'aucu n des langages fitudifis dans ce paragraphe n'est CFP, a fortlori CF. 
o~: 
2.1. lC~ example: 
J { P" + J" = l,n ~} 
et j +rant deux entiers distincts sup+rleurs ~ I. 
Solt ~(i,j) la grammaire CS avec marquant 
-m-,+> : .++. I.) 
-~(i~j) comporte : 
- 8 Q 
• la r~gle initiale (S, AIB I) 
• les r~gles de production 
( # A 1 , # A 2 ) (d~but) 
i iB2 ) ( A2A 1 , A 1A 2 ) ; ( A2B 1 ~ A 1 
( B 2 # , B~ # ) (fin) . 
• etles rggles te~ninales ( A 1 , I ) 
Le lecteur v~rifiera facilement qua 
; ( B2B 1 , B~ B 2 ) 
; ( B I , i ) • 
Ce rdsultat scralt ~viden~ent susceptible de g~n~ralisation en eonsid~rant 
plus de deux indices (i,j). 
2.2• 2 ~e example: 
Consid~rons la grarm~aire CS avec marquant 
~(!) comprend les deux symboles distingu~s Set #, !as ~l~ments de 
• { } t~i = A ~ A 1 , A 2 ~ B ~ C , C 1 , C 2 , D 
et ceus de 
et le symbole terminal I • 
Nous allons d~crire les ragles de la grammaire ~(!) en 
~ndiquant les d~rivations qu'elles permettent. L'id~e directriee est la 
suivante: on passe de I n! A I (n + I)! en '!eoplant" (n + I) fols le 
premiere phrase I n! : 
(n+ 1)! = In! In! in! KI | ••, | . 
(n + I} fols 
-9- 
~° 
1" 
Ainsi au nlveau ~on terminal le passage de I 5! ~ I 4! correspondra ~ la 
d~rivation: 
# AAAB 3 # ~ > # A 4 B 20 # ~ (~) 
le nombre de symboles A permet de savoir ~ quelle ~tape on est rendu. On 
montrera comment les r~gles d~crites permettent de r~aliser la dSrivation 
pr~c~dente. 
I. R~gle. initiale (S:, AA) 
II. 
'-~ ( ,- ) 
. ( # A , -# DA 1 ) -(d~but) 
• ( AIA , AAIC ) ; ( AIB , BAIC ) : 
• ( CA , .~C) ; ( CB , BC ) "~ 
( C # , C 1 # ) ; ( CC 1 , ctc t ) .\] 
• (Arc 1 , c~c 1 ) 
f ( YX' , yz~'~ ) 
E~gles pe~nettant les d~rivations du type: 
# A 3 B 3 # > # DAAB 3 (Ci)6 # 
r~gles de "recopiage" 
mise en place des 
nouveaux symboles 
passage ~ l'~tape 
suivante 
Par la suite les symboles X et Y d6sign~ront un symbole quelconque 
/1 ~ les restrictions faites seront seules indlqu~es. 
III. RAgles permettant les d~riv~tions du type 
DAAB3(CI)6 # > # DAA 2 B 3 (CIC2C2)6 
• (DA t , DA~ ) ou ( A2A' , Z~ ) : d~but de la nouvelle ~Cape 
• ( x,,z , .~. ) x# c I 
• ( C~Y , ClC2Y,, ) , ( C~ # , CIC 2 # 
• (c~,c~) 
Dtune fa~on g~n=drale slil s'agit du passage de I n! 
) : r~gles de "recopiage" 
L(n + I)! 
de 
cett~ 
~tape recommence (n - 1) lois. 
- 10 - 
IV. R~gles permettant les d~rivations du type 
# DAA2B3 (CIC2C2)6 # ~ # DA3 B20 # ,~(1) 
• ( A2C { , A!"A"' ) ou ( A2B , A"'A"' ) : un nouveau s)~nbole A appara{t 
en x~e d'une nouvelle ~-tape ~ventuelle 
• (x",Y , xY,,, ) X # c I at X# O 2 
• ( C~'Y , BY"' ) 
• (c~,Y, ~,, ) ou (c~, #, B#). 
V. Enfin les r~gles 
• ( XA"' , X"'A ) 
• ( # D"' ,#;~) 
ach~vent un d~veloppement complet (dans l'exemple cholsi on aboutira ~: 
# A4B 20 # ), et l'on pourra recommencer un nouveau d~veloppemnt (on 
passerait g: 5~i '~ A5B 115 # ) ou appliquer les • 
VI. K~gles terminales: 
.(s,} ) 
• (~A,~ { ) ( {a,i} ) 
• ({B ,i I ) 
On v~rifiera que • 
2.3. 3 ~me exemp le 
V i i > 2 • ~(i) = { 
En s'insplrant de la granunaire 
{i n' \[ ne i~,} 
i {~ { n~ ~} 
~ (l) on peut trouver une grammaire CS 
° 11 - 
engendrant ~6~(! ) i-L 4 qj . Cela nous permet de donner dans le cadre des 
langages CS un ~nonc~ du "thdoz~me" de Fermat 6non, ant que les ~quations 
n n n X +y =Z , 
pour n entier sup~rieur ou ~gal ~ 3~ n'admettent pas de solutions~ 
valeurs enti~res, ii est facile de v~rifier que cela revient ~ poser: 
• . ^ 
et l'intersection (cf. § 1.2.) ~tant stables relatlvement ~ la classe des 
langages CS~ on peut d~finir une grammaire CS engendrant le langage du 
premier membre de l'~.gallt~ pr~c~dente. Malheureusement le problAme 
g~n~ral, de savoir si le langage engendr~ par une grammaire CS est vide, 
est ind~cidable. 
Nous avons aussi d~montr~ \[ 5 \] que le lang~ge 
est CS. 
Mals icl nous allons presenter une grammalre CS engendrant les hombres 
premiers ~crlts Sous forme d~cimale. 
§ 3. NOM~RE3 PREMIERS DECIMAUX ET LANGAGES CS. 
L1ensemble des nombres premiers, ~crits Sous forme d~cimale 
usuelle, est un langage CS. 
DEMON STRAT ION: 
Consid~rons la grarmnaire CS avec marquant" 
o~: - le vocabulaire terminal, L/T , est llensemb!e des chiffres, 
~Y~T -----~ O, 1, 2, ..., 8, 9, } 
- le vocabulaire non termlnal~ ~N ' comporte en plus des deux 
c I , c 2 ~ c 3 sont des chiffres arbitraires l'un quelconque d'entre eux 
• I pouvant eventue_lemnt &tre indic~ par 
pr~clsdment: 
"=I" °' ' 
- les r&gles de la grarm~aire 
<<'>? ou <<,, 77 ~ plus 
vont ~tre divis~es en trois groupes. 
• # s------>~# ss 
\[ol . # s -----> # s 
.. ss -------> "5" "5" 
~,.J \[%t~2J 
• # 
(o) / 
c 1 , c 2 6 ~W T 
# S.,r --------># u 6 - 0 , 1 . 
Falsons Ici llhypoth&se que le symbole S n'intervlent pas dans les autres 
r&gles et que ces derni&res n'agissent que sur les symboles du type 
¢c ~cl~21 indicds ou places & l'extr~m!t~ g~uche- il en r~sulte que toute 
~S#-d~rivation cormnencera par une s~quence: 
#s# ---> #ss# ---> #s n " 1 # ___> # sn - 1 # __.> ... 
L°4 
• . c 1 s n- p + 1#__> ...----># ... #, 
L ~J L% 
- 13 - 
cn# o 
Ces d~rivatlons faites, les r~gles initiales ne pourront plus ~tre appliqu~es. 
II. R~!esde transf6rmation: 
Elles seront d6crites formellem'ent ci-dessous; signalons ici 
qu'il s'agit de r~gles conservant la longueur et que leur but est de 
d~terminer si~ oui ou non, le nombre N, 
N = CnCn - 1 "*" C2Cl 
est premier, Dans ce but N va ~tre "divis~" par les hombres D, compris 
entre 2 et N: 
D dldl - 1 "'" d2dl 
Ahnsi, en tours de d6ribation on passe par le mot non terminal: 
Cn ;.~ 0 dl ... d2 dl 
\[il que l'on representer sch6matiquement par , 2 ~ D < N . 
- Si Nest un multiple de D on obtient le mot , i.e. {° 1 \[° I ro-  01 
• .. ... NN , 
et l'on bioque !a d~rivatlon, N n'gtant pas prmler. 
- Si N n'~st pas divisible par D on passe ~ la "division" par (D + I), 
e'est-~-dire au mot non terminal I~l 
11 en r~sulte que si et seulemnt si Nest premier on aboutit eu 
mot non terminal j i,e. : 
- 14- 
• n- "'" g 
L°n- lJ 
dour on d~rivern le nombre premier N par les r~gles termlnales. 
III. 
c I c 2 
R~les ,terminales. c, c 1 , c 2 sont des chiffres quelconquesz 
ClC 2 
- si 
- si R ~ O, apr~s la (k + 1)-~ne soustraction de D, la presence de 
la retenue ( N - (k + I)D < O ) nous fern passer au mot non terminal IDN+N~\] 
DistlnEuons done Ins diff~rentes ~tapes et les dlff~rents cas 
la d6rivatlon passera par les mots non terminaux 
inf~rieur h D, autrc que 1). 
R = O, la d~rivation sara bloqu~e, pour m = k, ~ ~ ;. 
sulvancs: 
- 15 - 
11 s'agit maintenant de pr~ciser les r~gles de transfo~ation 
et de d~crire les d~rivations qu'elles permettent. On l'a dit ci-dessus, 
leur but est de "diviser'! N par D (2 ~ D ~ N). Cette division va 
consister en une succession de soustractions. 
"Soit: N = kD + R O L~.~ < D , (N n'~tant multiple d'aucun nombre 
o<. 
Ii. 1. D~but de soustractlon. 
Supposons que nous ayons d~rlv~ de S le mot 
m ~< k ,. avec: 
ND~D 
N - mD = r i ... r I . 
A. r I ~ O (donc ~ fortiori (N - mD) > 0 
. ~ ~ -- # 
t~J t~IJ 
Les chiffres r 1 , d 1 , 1 ' sont quelconques, seule existe la restriction 
siEnal~e, r I ~ 0.. Cette remerque vaut pour routes les autres r~glcs. 
B. r I = 0 : il s'agit de v~rifier si (N - mD) n'est pas nul. 
~. r~ # ----~ r~ e 
Nous nous Int~ressons uniquement aux chiffres de la ligne sup~rieure, 
aussl les r~-gles pr~c~dentes peuvent, sans aucune confusion, se me~tre 
sou,, la fore: I ol # ~ fo,l# 
~tant blen tntendu que les deux chiffres inf6rieurs sont quelconq~es (~ 
rQmarquer toutefois qu'ils ne peuvent 8tre indic~s) et ne sont pas modifies 
par ces r~gles. Cctte remarque nous permettre de simplifier l'6criture 
de certaines r~gles 
• \[,:,1 r_,zl ~ ro,~ \[ol 
• Ainsi dans le cas o~1 N -- mD on se trouvera arrSt~ ~: 
LClj Lel J 
(Tout au plus pourrait-on ajouter de nouveaux indices 
- 16 - 
~,~7 ~ la ligne sup~rieute). 
• Si (N - mD) est positif il existe j, j ~< i, tel que r. est distinct .! 
de O, et il faut alors continuer notre division par D par une nouvelle 
soustraction: 
x + o f_:if_o,'l -.--.> f_.:lro,,\] 
rodlol -...--+ \[olro-,\] 
\[~J# L~j 
II. 2. 
oi f~\] 
R~les de soustraction. 
Seules nous int~ressent les deux lignes sup~rieures; la ligne 
inf~rieure, ni~tlrrtt pas modlfi~e, conserve l'information du nombre N 
~tudi~. Nous avons quatre cas ~ consld~rer: 
A. Sanm retenue (sur le chiffre precedent): 
f:i\]l=~} ru, f<,o+::>:: -+:\] <~ < ~ , ~/<,71 
on introduit la retenue (Ividemment Igale i I) en utilisant l'indice ~''>~ 
B. Avec retenue: 
r 2 > d 2 
r"'i'l t f' lj + " 
(introduction de !a retenue) 
- 17 - 
r 2 .~ d 2 
# 
IZ. 3". Fin de soustraction. 
il y a essentiellemnt deun cas ~ envisager: 
A. l,~ - (m + I)D>/ 0 (m < k) 
sans la retenue: 
T avec Ia retenue: 
r>d " # ~ # 22ai 
B. N - (m+ I)D < 0 (m= k) 
• sans la retenue: 
r<d : # 
avecla retenue: 
rLd # ----.--> # -- 
- LTJ 
L'indice ~ ')~ ~i appara~t h la ligue inf~rieure, indique que H n'est 
pas divisible par D~ il va permetEre de passer ~ la division par (D + I) 
Er~ce au:: r~81es sui~-~ntcs. 
" If. Z}. 
passaze au mot tlon 
t 
A. dl 9 " # Loll 
passage. ~ Ia division par (D + 1)~ c,est-~-dlre 
• NI~_I \] tez~Inal ~" -- 
# 
- 18 - 
ligne inf~riet:~e indique que le passage de D ~ D+ 1 fait intervenir 'la . 
retenue (D se terminant per un 9). 
l l, l=2J I°! I*j 
de9 T 
I! r~sulte de la description faite que tout hombre pee~ler N 
d~rive de S, selon la grammaire ~. !l resterait h,.volr que la gra~nalre 
nlengendre pas~ ou plut6t '~'accepte pas" d'autres nombres. On: 
rt~-~clhera que les r~gles doivent &tre appliqu~es dens ltordre de leur 
presentation s~ llon veut que la d~rivatlon aboutisse ~ une phrase. 
Pour cela on c~ l'apparition et la disparition des 
Ind~ces qui commandent, en quelque so~e~ l'eneha~nement des ~tapes. 
Ainsi s'ach~ve la d~monstratlon du r6~/ta~ enTw~ 
~. = N I N nombre premier d~cimal . 
~RQUBS 
1°)- 
langage: 
Ace r6.sultat nous pouvons ajouter le suivant: 
Le compl&nentaire du langage ~ , e'est-~-dire le 
=( , } ~ I N' 1 N entier naturel d~clmal non pr~nler 
est un langage CS. 
11 suffit de consid~rer la gra~naire 
v 
les r~gles ten~inales III par les suivantes: 
d<c ~ ~ ~ 'c 
- 19 - 
et d'en remplacer 
\[°2J 
ci¢ 2 
e,.aJoutant @# S ~ ~ ~ 0 ~# et ~ S # ~ ~ 1 
Le lecteur v~rifiera ce r6sultat facilement en remarquant que 
N n'est pas pr.~uier si et seulement s'il existe D, D < N (on peut pr~ciser 
D ~ N ) tel que N = kD. Dana une d~rivation selon la grammalre ~, 
J 
essayant d'engendrer N, on aboutlt au mot . En posant: 
N = d n ... c I et D = d I ... d I 
on est sQr que l'on a d n < cn (car N ~ 2D) d'o~ la restriction Impos~e 
ci-dessus ~ la preni~re r~gle termlnale applicat~le. E11e 6talt n6cessalre, 
car sl Nest premierp la grammaire ~ 8 nous permet d'aboutir au mot 
alors d n = cn et notre nouvelle grammalre "n'aceepte pas" N. 
2 ° ) 
langase: 
Nous allons donner une nouvelle grammalre CS engendrant le 
(p) = |P \[ p ¢ ~, p premier , 
Auparavant~ donnons un ensemble 
~1 de r~gles CS permettant de passer de l'~criture d~eimale d'un end!er 
naturel p ~ son ~criture "en b~tons". 
• R~g!es C S de passage ~de~ p ~ ~ ~ \[_ p /=#. 
Solt P = Qn~n - 1 "'' C2dl 
Nous allons dlstlnauer 3 cas sulvant la valeur du chlffre des unlt~s. 
- i er cam: ~ > 1 . C# ~ (c - 1) \[ # 
(¢- 1>ll . C I ----==~ . 
- 20 - 
- 2eme cas 0= I d 1# ~ d OI # ) 
• dXl doll 
r~gle de fin de transformation • # 11 --2 # I.\[ 
cas partlculier . # 1 # -----> # I ~f= 
d est un chiffre 
quelconque. 
- 3~me cas: C = 0 0 # --> O' # 
. ol ---+ o'I 
d>l 
d=l 
• 0 0' ------> O' 0 
• d O' ~ (d - 1)9 I ' 
{i u 10'-----~ u 0 9 # 1 0'---> # 91' 
' I' I o----~ 9 
I'#--> \[# 
u est un ch£ffre 
quelconque 
On remarquera que la d~rlvation 
# P# ~ # IP# 
est d~finle dlune fa~on unique; on passera par les ~tapes: 
# p44~-----~# (p-1) i # ~ ...# qlP-q#--> ...---> #i'P# , 
le passage de q & (q - I) ( i< q~<p ) exige, dans le cas 0h le ¢hlffre 
des unit~s de q est nul, l'intervention d'une retenue. 
Nous sommes malntenant en mesure de d~flnlr une grammalre 
engendrant ~(p): 
i' 
terminal de . . ~f = la grammaire~ ~tudi~e ci-dessus. 
~ ~l ' ,A.~tant: l'ensemble des r~gles de la graB~aire 
et ~I l'ensemble des r~gles de passage d~crites ci-dessus. 
- 2t- 
En conclusion nous allons ~noncer des r~sultats permettant de 
cc~pnrer la classe des langages C~ & deux autres classes qui g~n~ralisent 
celle des langages CF. 
- Langages CF matricielles. 
Une granmmire matricielle est un couple \[~,d~\] o~ : est 
une grammalre de constituants. 
e=~ une pattie finie du monolde libre 6'~, E(.~ ..)4..\] sera dite grarmm~ire 
matricielle CF, CS, etc.~ si ~est respectivement une grmm~aire CF, CS, 
etc... Le langage engendr~ par la grammaire matricielle \[~/~{~\] est 
llensemble: 
des mots sur le vocabulaire ~T qui d~rivent de S par une suite de r&gles 
de& qui est un produit de juxtaposition de mots de ~. (Lutrement dit 
on applique d'abord dans leur ordre les rtgles d'un premier mot ~I 6 ~; 
puls on passe & un second mot ~2 ' dont on dolt pouvoir appllquer la 
premi&re "lettre", qui est une r&gle de ~ puls la seconde etc...). 
J, P. Benz~crf a prouv~ \[ 2 \] que : 
• tout langage engendr~ par une grarmuaire CF matriclelle est C8... 
On a plus: tout langage CS matriclel est CS. 
- Langctges CFP (cf. § 2 au d~but) 
Nous avons prouv~ (travail & paraStre) que: 
• tout langage CFP est CS. 
- 22 - 

References

• J. P. BENZECRI (Rennes, f~vrier 19~5) Structures alg~brlques et 
eonstltuants non connexes dans les grar.malres. 

J. P. BENZECRI (Paris, 1966) Granmmlres matricielles 

N. CHOMSKY, Formal Properties of Gra,~ars, dans Handbook of 
14athematical Psychology, vol. II (Ed. by D. Lucew E. Busch, 
E. Ga~anter) 1963, pp. 323-418. 

J. FRIANT (Th~se de 3 ° cycle, Parisp 1966) Les langages CS. 

J. FI:IANT (Paris 1966) Nombres premiers et langages CS. 

R. GUEDJ (Thgse de 3 ° cycle, Paris, 1966) Grammaires de Constituants 
G~n~raux. 

7 S.Y. KURODA (Octobre 1963), Classes of Languages and Linear 
bounded autamata. 

\[ 8\] • P. S. LANDWEBER, Three thehrems on phrase structure grammars of 
type i, Information and Control, t: 6, 1963, p. 137-146. 
