Categories Morphologiques e t analyse contextuelle dans 
la lin~uistique al~brique 
par Solomon Marcus 
Une caract~ristique du d~veloppement r4cent de la linguistique 
alg4brique c'est l'existence de maintes th4ories parall~les, ayant pour 
objet une m~me r4alit~ linguistique ou des fairs assez semblables. Mais pour 
la plupart de ces th4ories on ne connalt pas les rapports exacts et on 
continue d'utiliser m~me des terminologies diff~rentes pour des notions identi- 
ques, ce qui n'est pas de nature ~ favoriser le progr4s de cette science. C'est 
justement la situation dans les ~tudes d'analyse alg~brique contextuelle. Nous 
nous proposons de discuter, dans ce qui suit, les notions introduites par 
Dobru~in ~I l , ~2\] Sestier \[llJ et Sakai \[IOJ, notions qui s'av~rent 
intimement li4es, parfois m~me ~quivalentes. 
Consid~rons un vocabulaire fini V . Toute suite finie d'414ments de 
est une phrase (sur ~) ; Toute collection de phrases (sur V) est un langage 
(sur V_). II sera sous-entendu le fait que toutes les notions sont relatives ~ 
et un langage ~ sur Vet nous allons supprimer la r~f4rence explicite bce fait. 
Soient a E Vet b ~ . Soit ~ un langage sur V . On dit que ~ domine 
et on ~crit ~ ----, ~ si pour tout couple de phrases ~ et ~ la relation 
fa ~ ~L implique la relation fbgE~ . Si ~ est une langue naturelle, la 
relation ~-----~ a l'interpr~tation suivante. L'homonymie morphologique qui 
se manifeste parmi les formes flexionnelles du mot ~ est plus pauvre ou ~gale 
b celle qui se manifeste parmi les formes flexionnelles du mot b . Par 
exemple, si ~ est le vocabulaire du frangais ~crit et si ~ est la collection 
des p~rases correctes du frangais ~crit, alors, en prenant ~ = petit et 
~ =:mince , on cons{ate que ~-----~ , mais on n'a pas ~------>~ et ce fait est 
d0 ~ ce que ~ des formes flexionnelles diff4rentes de mince correspondent des 
formes flexionnelles diff4rentes de petit, mais la r4ciproque n'est pas vraie, 
car aux formes petit et petite correspond la m~me forme mince. Si l'on a, b la 
fois, ~------~ et ~-__.__~ ~ , on ~crit ~L_____~b et il est facile de voir 
que <------>est une relation d'~quivalence dans V__ . La classe d'~quivalence de 
~'sera notre par S (a) ; c'est la classe de distribution du mot a . 
Par exemple, dans l'exemple du frangais ~crit envisag~ ci-dessus, on a 
~ r~, donc r~ ~ S(~etit). Un mot a__ est dit initial si 
pour b-----~ on a toujours b ~ S(a). R.L. Dobru~in a introduit la notion 
de cat~gorie morphologique (Dobru~in dit : grammaticale) 41~mentaire engendr4e 
un mot initial a ; c'est l'ensemble ~ (a) = ~b ; a 4~ b~ par 
L'interpr~tation de cette notion est la suivante : ~ (a) est l'ensemble des 
mots qui poss~dent toutes les valeu~s:mor~hologiques de ~ • Par exemple, dans 
le fran~ais 4erit A = Petit est un mot initial, tandis que ~ (a) = ~ petit, 
grand; minc__~e, ~ros, .... ~ est l'ensemble des adjectifs qualificatifsU ~ qui sont 
au masculin singulier. Naturellement, il peut arriver que certains mots de ~(a) 
poss~dent , en outre, des valeurs 4trang~res ~ ~ , co~e on constate aussi sur 
l'exemple ci-dessus : le mot mince poss~de aussi la valeur du f~minin, tandis 
que le mot ~ros poss~de aussi la valeur du pluriel. 
Mais }a notion de cat~gorie morphologique ~l~men~aire ne couvre pas 
toutes les categories morphologiques de la linguistique. Par exemple, la 
cat4gorie du singulier, celle du f~minin, celle de l'adjectif qualificatif et 
beaucoup^d'autres ne correspondent ~ aucunecat~gorie morphologique ~l~mentaire. 
Ce fait nous a d~termin~ d'introduire une certaine extension de la notion de 
D~bru~in (voir ~3\] , \[4\] ; \[5\] et le chapitre V de E8J ). Si AC__V ~ B 
et si ~..___>b pour ehaque ~ ~ A et pour chaque b___~ B , on dit que A domine f 
et on ~crit A -------~B . Posons A I = ~a; A ~ ~ ~ . L'ensemble 
pa~r (A) = A k_J A Iest, par d~finition, la cat~gorie morphologique engendr~e 
%- 
A. Dans le cas particulier o~ A = ~ C ~ ) ~ et ~ est un mot initial, on 
V obtient la notion de cat~gorie morphologique 41~mentaire, due ~ Dobrusin. 
L'int~r~t linguistique de la notion que nous vemons de d4finir vient du fair 
qu'elle couvre toutes les cat4gories morphologiques intuitives de la linguis- 
tique. Ce fait est la consequence des deux propositions suivantes : 
i ° - La r~union de deux categories morphologiques est aussi une 
cat~gorie morphologique (voir la rroposition de E4\], P. 328, o~ les categories 
morphologiques sont appel4es cat4gories grammaticales). 
2 ° - Toute cat~gorie morphologique intuitive correspond ~ une 
r~union de categories morphologiques ~l~mentaires (ce qui justifie la d~nomination 
-' 2 - 
de cat~gorie morphologique ~l~mentaire ; c'est l'atome morphologique, la cellule 
qui se trouve ~ la base de route cat~gorie morphologique). Prenons, par exemple, 
la cat~gorie morphologique du singulier des adjectifs qualificatifs du fran~ais 
~crit. Les mots appartenant ~ cette cat~gorie forment un ensemble qui n'est autre 
chose que la r~union des categories morphologiques ~l~mentaires L~(petit) et ~ 
(petlte). En ce qui concerne la cat~gorie morphologique des adjectifs 
qualificatifs, elle est une r~union de quatre categories morphologiques ~l~men- 
taires, ~ savoir ~(petit) , ~ (petite) , ~ (petits) ,~ (petites) . En ce 
qui concerne la r~union de deux categories morphologiques ~l~mentaires distinctes, 
elle n'est jamais une categories morphologique ~l~mentaire. En effet, 
soient ~(a) et ~(b) deux categories morphologiques ~l~mentaires distinctes, et 
supposons--qu'il existeq un mot initial ~ tel que ~ (c) = ~(a) k~ ~(b) 
(les mots ~ et b sont aussi initiaux, par la d~finition m~me de la notion de 
cat~gorie morphologique ~l~mentaire). On a donc ~ ~ ~ et ~ ~b . Cela 
implique, en vertu du fait que les mots ~ et b sont initiaux, ~ ~ S(c) et 
~ S (c), donc ~ <-----~ b . Mais on obtient ainsi une contradiction avec 
l'hypoth~se que ~(a)~ ~b) ; donc la r~union de ~ (a) et ~(h) n'est 
plus une cat~gorie morphologique ~l~mentaire. Mais cette r~union est toujours 
.(en vertu du I °) une cat~gorie morphologique, ce qui prouve l'avantage de cette 
derni~r~e notion. 
Passons maintenant au point de vue de Sestier Eli qui sera pr~sent~ 
ici avec certaines modifications de terminologie et de notation. Tout couple 
ordonn~ ~f,g~ de phrases (sur V) est un contexte (sur V). On dit que le 
contexte~f,g~ accepte la phrase h (par rapport ~ un langage ~ sur V ) si 
fgh~L. D~signons par c~-(h) l'ensemble des contextes qui acceptent la phrase h 
et par o(-4(~) l'ensemble des mots accept~s par le contexte ~ . Soit maintenant 
un ensemble X V , et un ensemble Y de contextes. Posons 
%cy 
1(x) 
L'ensemble ~ (X) est la fermeture de Sestier de l'ensemble X , 
tandis que ~ (Y) est la fermeture de Sestier de l'ensemble Y . 
3 - 
Dans le premier cas, la fermeture est un ensemble de mots, tandis que dans le 
deuxi~me elie est un ensemble de contextes. 
Comme nous l'avons montr~ ailleurs (propositions i, 2 et 3 de \[7\] , 
on a, pour tout ensemble X de mots, l'inclusion (X) C X) ; il y a des 
cas o~ l'inclusion est stricte, mais si X se r4duit ~ un seul mot, on en a toujours 
l'~galit4. En particulier, il s'ensuit que la cat4gorie morphologique ~14mentaire 
engendr~e par un mot initial coincide avec la fermeture de Sestier de ce mot. 
Ii est int~ressant de faire une confrontation entre les categories 
morphologiques et les fermetures de Sestier car les unes et les autres ont des 
significations linguistiques tr~s importantes. Voici d'abord quelques analogies 
(X est une partie quelconque de V) : 
a) X ~_ k~(X) 
t\] 
c) v v+(v 
d) il ya des can o~ l'inclusion 
a) est stricte et il yen a d'autres 
o~ l'on a l'~galft~ ; 
e) il y a des can o~ l'inclusion c) 
est stricte et il yen a d'autres o~ 
l'on a l'~galit~ ; 
f) afin que X soit une cat~gorie 
morphologique il faut et il suffi 9 
que ~_(X) = X 
a') X C_. k~ (X) ; 
(x )o 
c') v - f (x) c ('v - x) ; 
d') il y a des can o~ l'inclusion a') est 
stricte et il yen a d'a~tres o~ l'on a 
l'4galit~ ; 
e') il y a des can o~ l'inclusion c') est 
stricte et il yen a d'autres o~ l'on a 
l'~galit~ ; 
f') afin que X soit une fermeture de Sestier 
il faut et il suffit que ~ (X) = X 
Les propositions a) eta') sont @videntes. La proposition b) est le 
th~or~__me 5 de \[4\] , tandis que la proposition b') a ~t~ donn~e dens \[12J (volt 
sunni la proposition 18 de \[12\] ). Les propositions c) et c') sont, respective, 
ment, les propositions 23 et 19 de ~2\] . Les propositions d) et d') sont 
4videntes. Los propositions e) ete') r~sultent respectivement des propositions 
24 et 20 de \[12\] . Les prepositions f) et f') sont respectivement des consequences 
de b) et b'). 
-4- 
II y a probablement maintes autres analogies entre ~ et ~ et on pourrait 
chercher ainsi l'analogue pour ~ des th4or~mes de ~ 3J , ~4~ , ~5J et du 
chapitre V de \[81 . \]dais nous voulons attirer l'attention sur quelques propri4t~s 
qui montrent les diff4rences de nature "alg4brique et de signification linguis- 
tique des deux op~rateurs ~ et 
g) il y a des cas.oO A ~ B ; 
maim aucun des ensembles ~(A) 
• o et (B) n'est contenu dans 
l'autre ; 
h) la r4union de deux cat4gories 
morphologiques est aussi une 
cat4gorie morphologique ; 
i) l'intersection de deux cat4- 
gories morphologiques n'est pas 
toujours une cat4gorie morpholo- 
gique ; 
j) il y a des cas o~(A(~B) 
O n'est pas contenu dans 
k) il y a des ensembles Aet B 
tels que ~(A kJ B)C~)~) ~ (B) 
i) Si A- B ~ O ~ B- A, 
alors ~(A) = ~(B) si et 
seulement s'il existe un mot a 
tel que Ak.2B---->S(a)~A 2k B, 
oO ~ signifie la diff4rence 
(Aet B sont deux sous-ensembles de V) : 
h'i la r~union de deux fermetures de Sestier 
n'est pas toujours une fermeture de Sestier 
i') l'intersection de deux fermetures de 
Sestier est aussi une fermet~re de 
Sestier ; 
i') ~ (A) = ~(B) si et seulement si 
o~ (A) = o< (B). 
sym4trique. 
La proposition g) r4sulte de l'exemple suivant. Soit 
B, ~(A) = a, e , (B) = a,~, c , do~c aucun deks ensembles ~ 
(A) et r~ (B) nest =ontenu dans l'autre. La proposition g') est la proposi- 
tion 12 de ~12~. ea proposition h) a ~t~ ~tablie dans \[4~ , p. 327-328 . Quant 
A la proposition h'), il faut remarquer qu'elle est 4quivalente (en vertu de la 
5 - 
proposition b')) ~ l'existence de deux ensembles A et B qui ne satisfont pas 
l'~galit~ ~ ( ~ (A)k._./ ~ (B))= ~ (A) k~/ ~ (B) . C'est justement le cas 
comae le montre l'exemple suivant, d0 ~ Grzegorz Rozen~erg (communication orale). 
Posons A = ~a, d~ , B =~b, e~ . On a ? (A) =~a, d, f~ , ? (B) = ~b,e,f~ 
~ (A)k../ ~ (B) = ~a, b, d, e, f~ , 
= , = (o) = v 
Ce qui rend plus int~ressant cet exemple c'est le fait que A et B sont ici des 
classes de distribution ~ ; en effet, on a A = S (a) et B = S (b) . Ii s'ensuit 
donc que, non seulement la r~union de deux fermetures de Sestier n'est pas toujours 
une fermeture de Sestier, mais elle ne l'est ni m~me dans le cas particulier o~ 
les deux fermetures envisag4es sont des cat4gories morphologiques ~l~mentaires 
(on salt, d'apr~s la proposition 3 de \[TJ , que ~(S (x)) = ~ (S (x)) , quel 
que soit le mot x). Mais nous avons vu que les r~unions finies de categories 
morphologiques 414mentaires donnent justement les cat4gories morphologiques intuitives 
des langues naturelles ; il s'ensuit donc que ces cat4gories intuitives ne corres- 
pondent pas touj~-Ors.~ des fermetures de Sestier, ce qui met la notion de fermeture 
due ~ Sestier dans une situation d'inf~riorit~ par rapport ~ la notion de cat~gorie 
morphologique (si l'on envisage le point de vue morphologique). D'autre part, du 
point de vue de l'analyse contextuelle, c'est la fermeture de Segtier qui semble 
plus naturelle et plus utile. 
La proposition i) r~sulte du m~meexemple utilis4 pour prouver la 
proposition g) . En effet, on a, dans cet exemple, ~(A) /% ~(B) = ~a~ , 
m~is il existe aucun ensemble C tel que ~(C) = \[a~. En effet, on a 
~ (\[a~) = ~a, e} , donc ~(~a~=\[a~ et, en vertu de la proposition f), ~! 
n'est pas une cat4gorie morphologique. En ce qui concerne la proposition i') 
faut remarquer qu'elle est 4quivalente ~ l'assertion ~ ( ~ (A)~ ~ (B)) = 
? (A)('~ ? (B) . Voici une d~monstration rapide de cette ~galit~, due ~ R. 
S. Waligorski (communication orale). En utilisant les propositions j') et b') , 
0n a~(~ (A)/A ~(B)) ~ ~ (f(A))t'~ ~ (~(B))=~(A) F'~ ~(B). D'autre 
part, en vertu de la proposition a'), on a ~ (A) f'~ ~(B)~ ?(~(A) ~ ~ .(B)) 
La proposition j)a 4t4 ~tablie par E. Toma Marcu (voir la proposition 22 du 023). 
Le m~me auteur a d~montr4 la proposition j') (voir la prSposition 13 de LI#. 
La propositio~ k) r~sulte de l'exemple suivant. Soient V =\[a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h ,~ 
-6 - 
L =labc, ado, efg, ehg}. Posons A =\[b~ , B =\[f~ . On a ~ (A) =\[b, dJ , 
~(B) =if, ~ , ~(A~B)=~(\[b, f~)=~, ~ , donc~"(AL\]B)~%(A)~/~(B) 
La proposition k') est justement la proposition 15 de ~L2~. La proposition I) a 
~t~ d~montr~e dans \[3 3 (voir aussi le chapitre V de \[8 J) tandis que la proposi- 
tion I') est la proposition 18 dell2 # . 
On constate donc qu'il y a une certaine dualit~ entre les op~rateurs 
Get ~ , en ce qui concerne les op~rateurs de r~union et d'Insertion (voir les 
propositions h) et h'), i) et i') ) mais en g~n~ral l'op~rateur~ pr~sente une 
certaine sup~riorit~ de nature alg~brique (voir, par exemple, la propri~t~ de 
monotonie de l'op~rateur?). II serait int~ressant d'~tudier le comportement 
r4ciproque de ces deux op~rateurs, par exemple leur superposition, la distributivit~ 
de l'un par rapport ~ l'autre, etc... 
Dans un travail r~cent, Itiroo Sakai d~veloppe une analyse contex- 
tuelle qui en beaucoup de points s'approche des notions ci-dessus, d~s que ces 
notions sont envisag~es non seulement pour les mots (c'est-~-dire pour les 
~14ments de V), mais aussi pour les phrases (c'est-~-dire pour les ~l~ments du 
langage universel sur V), il introduit la notion de voisinage complet d'une 
phrase f, qui revient ~ l'ensemble ~(f), et la notion de v0isinage ~l~mentaire, 
qui revient ~ un voisinage complet qui est une classe de distribution, c'est-~- 
dire qui est de .la forme S(f). Dans fS~ nous avons ~tabli certaines propositions qui 
lient les notions de Sakai et celles ci-dessus, mais il reste encore ~ approfondir 
cette liaison. Des aspects nouveaux de eertaines des notions ci-dessus sont 
~tudi~s par Revzin <9Jet par Marcus~6J . 
- 7 - 

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Elementarnaja granunati~eskaja kategorija 
Bjulleten Obdeinenija po probleman ma~innago 
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4. S. Marcus 
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5. S. Marcus 
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Categories de Dobru~in, fermetures de Sestier et 
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12. E. Toma Marcu 
Propiret~i a~e ~nchiderilor Sestier din teoria 
algebric~ a gramaticii. Studii si cercet~ri matematice 
vol.12, 1967. 
