JEAN PIERRE DESC~ES 
UN MODELE MATH~MATIQUE D'ANALYSE 
TRANSFORMATIONNELLE SELON Z. S. HAt~I~IS 
Dans le projet g~n~ral de Z. S. Harris (1968), nous avons ~ la 
base un ensemble K de phrases ~l~mentaires (les phrases noyaux) et 
un ensemble O, d~fini pour chaque langue naturelle, d'op~rateurs, de 
base. Une phrase est alors caract~ris~e par une unique d~composition 
(repr~sent~e par un treillis) obtenue par un produit des op6rateurs 
de base et des phrases ~l~mentaires de K. Ce qui caractSrise donc une 
phrase, c'est un sous ensemble de K et un ensemble partiellement or-" 
donn~ d'op~rateurs qui agissent sur ce sous ensemble et ses trans- 
form,s. 
A partir de T(O), on peut construire la <~ th~orie libre ~ de base 
au sens de F. W. LAWV~ (1963), retrouv~ par J. BENaBOU (1968), 
repris par S. EItENUERG et J. B. WRIGHT (1967). Une <~ th~orie )) est une 
cat~gorie math~matique particuli~re dont les objets sont les segments 
finis \[n\] (-- {1, 2, ..., n} sin ¢: 0 et • sinon) et les morphismes q~: 
\[hi-~ \[p\] v6rifient l'axiome de <~ th~orie ~ (F. W. LAwv~, 1963). En 
employant la ~, th~orie des graphes )) (C. BERGE, 1958) on peut donner 
une presentation plus intuitive de la construction de la <, thdorie 
fibre ~. A chaque op~rateur de base ~ de ~, on associe un dendron 
(M. C. BaR~AULT, J. P. DEsctus, 1972), c'est ~ dire un arbre ~tiquet~ 
o~ tout noeud a l'ensemble de ses successeurs imm~diats totalement 
ordonn~. Un op~rateur q~ de poids pest represent6 par un dendron 
de la forme: 
! 2 3 ......... P 
On introduit deux op6rations: 1) l'intrication: ~tant donn~s n den- 
drons 91, 9~ .... ,9~ associ6s ~ n op6rateurs de poids p (i.e. des op6rateurs 
p-aires), on les intrique de mani~re ~ obtenir un op~rateur complexe 
qui ~ p arguments associe un n-upple de valeurs. Chaque op6rateur 
24 JEAN PIERRE DESCLES 
complexe est repr~sentd par ce que nous appellons une treille (M. C. 
Bax~AtrtT, J. P. Dvscrrs, 1970; 1972), de la forme: 
et notde T~P; 2) Ia greffe: dtant donndes deux treilles T~ et T~, on greffe 
T~ aux terminaux de T~ pour obtenir la treille T~: 
La <~ thdorie libre ~ T(~) est un ensemble d'opdrateurs qui contient: 
1) l'ensemble des op~rateurs de base ~; 2) l'ensemble des treilles ob- 
tenues par intrication; 3) l'ensemble de toutes les applications ensem- 
blistes des segments finis dont les projections et les permutations; 4) la 
composition par greffe de toutes les operations prdcddentes. A chaque 
ddcomposition d'une phrase, on ass ocie une treille qui reprdsente un 
opdrateur complexe construit ~t partir de l'ensemble partiellement or- 
donnd des opdrateurs de base qui entrent dans la ddcom_position d'une 
phrase. Cet opdrateur complexe agit sur un sous ensemble ordonnd de 
K pour donner une phrase complexe obtenue ~t partir des phrases dld- 
mentaires de K. T(~), construite ~ partir de ~, sert de support ~ la for- 
malisation des produits des opdrateurs de base de • et ~t la ddcompo- 
sition transformationneUe de toute phrase. On obtient ainsi, par une 
construction algtbrique, un ensemble d'op~rateurs que l'on peut com- 
poser entre eux. Cette construction conduit ~ un traitement automati- 
que des analyses transformatiormeilesl Et effet, ~t pattie de l'approche 
ddfinie par M. A. AamB et Y. Grv~'ON (1968) qui ont donnd un 
module de calcul en parall~le directement associd ~ toute <~thdorie libre~) 
et repris par nous dans M. C. B^RzAtrrz, J. P. Drsc~rs (1970), on peut 
construire un automate qui produit (et analyse) les phrases d'une 
langue natureUe. 
UN MODELE MATI-I~MATIQUE 25 D ANALYSE TRANSFORMATIONNELLE 
On d~finit alors la classe des grammaires transformationnelles GT 
par la donn~e du triplet < V, K, • > off Vest tm ensemble de mor- 
phemes, K est un sous ensemble de V* (monoide libre de base V), 
un ensemble d'op6rateurs de base d'une langue donn6e. Une telle 
grammaire GT doit engendrer ~ partir de K l'ensemble des phrases 
de la langue et leurs analyses transformationnelles en termes d'op6ra- 
teurs de base. D'autre part, la grammaire GT doit permettre de d& 
composer toute phrase en un ensemble partiellement ordonn6 d'op& 
rateurs et de phrases 616mentaires de K. Chaque d~composition transfor- 
mationnelle est un op~rateur complexe de l'ensemble T(#0). 
On peut ainsi donner un fragment d'une grammaire transforma- 
tionnelle de l'anglais ~ partir de la d~composition propos~e par 
Z. S. HAums (1968, p. 110). Harris donne pour l'anglais sept types 
d'op6rateurs de base qui sont binaires ou unaires: les op6rateurs qui 
sont des expansions de roots: 9a (strict; tr~s strict); les op6rateurs 9~ 
portant sur le verbe (il s'en va; il est parti (kier)); les op6rateurs por- 
tant sur les phrases 9s (je trois que...); les connecteurs 9~; les permuta- 
tions 9p ( ie soupfonne cela ; cela, je le soupfonne) ; effacement et introduc- 
tion de substitut 9,; les op6rateurs morphophon6matiques 9,,. 
Chaque op6rateur complexe de T(~) qui est de poids p op~re sur 
un p-uple de phrases ~16mentaires de K. Chacun des op6rateurs T~ 
de T(O) fait passer d'un p-uple de phrases ~ un n-uple de phrases. Ainsi, 
T(O) qui op6re sur K permet de: 1) construire l'ensemble des phrases 
S qui c0ntient K; 2) structurer S par une s~rie de relations (les transfor- 
mations) ~ partir des op~rateurs complexes de T(~). On est situ~ alors 
dans ce clue Lawv~re appelle le T(O)-alg~bre sur K. 
Donnons un exemple du traitement de la phrase (Z. S. HAmuS, 
1968, p. 133) Frost reads smootkly qui signifie ~ Frost lit doucement ~>. Dans 
T(O), on construit la treille associ~e ~ l'op~rateur complexe: 
• . \[2\] 
\[1\] 
\[1\] 
treille op~rateur complexe 
26 JEAN PIERRE DESCLES 
obtenue ~t partir des op~rateurs de base: % - is smooth; % - effacement 
de of anything; ~- ly; ~ - intonation de la phrase. Si l'on fait op6rer 
cet op6rateur complexe sur la phrase 616mentaire Frost reads anything 
de Ken suivant l'ordre partiel exprim6 par la treille, on voit que les 
op&ateurs q~L et % op~rent en parall~le. 
On obtient en d6finitive le sous-ensemble de S structur6 par des 
transformations, que l'on peut repr6senter par le graphe orient6 (ou 
treillis) : 
1:/ost reads smooIhly / "r 
Frost reads anything smoothly/" F(ost's reading is smooth 
"~Frost's reading of anything 
Frost reads anything 
is ~mooth 
Ce module math~matique pour &re op&atoire rend n~cessaire 
d'expliciter, pour une langue donn~e, les opdrateurs de base de O. 
Z. S. Haams (1968) donne une m&hode empirique pour dresser la 
liste de ces op~rateurs. Les d&ails math~matiques et les preuves sont 
donn~s dans M. C. BARBAULT, J.~P. DESCLES, (1973), J. P. DESCtES 
(1973, ~t paraltre) et M. A. AR~IB, Y. GIVE'ON (1968). 
La formalisation d'un tel module permet de comparer ce module 
~t d'autres modules en particulier aux modules de N. Chomsky et de 
S. K. ~AUMJAN (1972). 

References

M. A..A_RBIB, Y. GlVS'ON, Algebra Auto- 
mata, I, II, dans ~Information and 
Control ~, XII (1968). 

M. C. BAm3A~T, J. P. D~scL~s, Appro- 
ches structurelles et cat~gorielles du "sys- 
t~me de transition, Paris, 1970. 

M. C. 13AaBAW-T, J. P. D~SC~ES, Trans- 
formations formelles et tMories linguis- 
tiques, Doc. Centre ling. quantitative 
n. 11, Paris, 1972. 

M. C. 13~.RBALrLT, J. P. D~sc~Es, ModMe 
math~matique transformationnel, dans, T. 
A. information *, (1973). 

J. 13~N~a3OO, Structures alg/briques clans les 
categories, dam * Cahiers de topologie et 
g~om~trie diff&entidle ~, X (1968), 1. 

C. BERGS, TMorie des graphes et ses appli- 
cations, Paris, 1958. 

J. P. DEsc/.~s, TMorie et T-alg~bre-appli- 
cations cl la linguistique, darts MatMmati- 
ques et sciences humaines, Paris, 1973 (~ 
paraitre). 

S. EILENBI~RG, J. 13. WRIGHT, Automata 
in general algebras, dans ~ Information 
and Control ~, XI (1967). 

Z. S. Ha~IS, Mathematical Structures of 
Language, New York, 1968. 

F.W. LAwvL,~, Functorial semantic of al- 
gebraic theory, darts ~ Proceedings of the 
National Academy of Sciences ~), 1963. 

S. K. gAUMJ.tt% Probl~mes philosophiques 
de la tMorie linguistique, Moscou, 1972. 
